DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
La distribución hipergeométrica es una forma particular de la distribución binomial; en ella, los resultados de los procesos no pueden presentarse más de una vez, esto es, el muestreo de los elementos de la población se realiza sin reemplazarlo.
Debido a lo particular de su planteamiento, esta distribución tiene poco valor práctico, aunque es muy adecuada para calcular, por ejemplo, la probabilidad de que, de una población de N alumnos, de los cuales Ttienen una característica deseada, se representen a una reunión exacta un numero x de alumnos, si se invitó aleatoriamente a n alumnos.
La distribución hipergeométrica debe utilizarse en vez de la distribución binomial cuando el tamaño de la población sea pequeño en comparación con el tamaño en comparación con el tamaño de la muestra, por ejemplo, si la muestra excede del 20% de la población.
Las formulas que permiten calcular las probabilidades de esta distribución de esta distribución se representa y aplica enseguid
En las cuales,
x. es el número deseado de éxitos
N es el número de elementos de población
T es el número total de éxitos en la población
n es el numero de elementos de la muestra.
Ejercicios 1.
De un grupo de 100 personas, 20 son mujeres. Si se selecciona al azar a 30 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que en la selección haya exactamente 8 mujeres?
Solución.
La muestra excede del 20% de la población, y el muestreo de los elementos de la población se realiza sin remplazo, por lo que es adecuado utilizar la distribución hipergeometrica, en vez de la binomial, de la siguiente forma:
En este caso,
x=8,
N=100,
T=20
n=30.
=0.1162 = 11.62%
Ejercicio 2.
De un grupo de 100 personas, son mujeres. Tabule la distribución de probabilidad hipergeometrica del número de mujeres, si se selecciona al azar a 30 personas.
Solución.
En este caso, x puede tomar valores desde cero hasta veinte, N es igual a 100, T es 20 y n es 30, por lo que:
La distribución resultante es:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Probabilidad de (x) | 0.03% | 0.36% | 1.88% | 5.97% | 12.68% | 19.18% | 21.41% |
x | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
Probabilidad de (x) | 18.03% | 11.62% | 5.78% | 2.22% | 0.66% | 0.15% | 0.03% |
x | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Probabilidad de (x) | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% |
Ejercicio 3.
De un grupo de 100 personas, son mujeres. Tabule la distribución de probabilidad hipergeometrica del número de mujeres, si se selecciona al azar a 30 personas.
Solución.
El numero de éxitos deseado es 9(x=8); la probabilidad simple de que ocurra un éxito (mujer) es 20/100 (p_0.2); y el numero de veces que se tomará un elemento del grupo es 30 (n=30). La aplicación de la distribución binomial produce:
=0.1106=11.06%
Comparación de la distribución binomial contra resultados obtenidos con la distribución hipergeometrica.
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Probabilidad de (x) | 0.12% | 0.93% | 3.36% | 7.85% | 13.25% | 17.23% | 17.95% |
x | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
Probabilidad de (x) | 15.38% | 11.06% | 6.76% | 3.55% | 1.61% | 0.64% | 0.22% |
x | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Probabilidad de (x) | 0.07% | 0.02% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% |
Ejercicio 4.
Se va seleccionar al azar 30 personas de un grupo de 100, en el cual 20 son mujeres. Determine la media y desviación estándar de la distribución de probabilidad del número de mujeres en la selección.
Solución.
En este caso, n=30; T=20; N=100;p=T/N=20/100=0.2; Y q=1-0.2=0.8 por tanto:
Número esperado de mujeres en la selección es 6.
Desviación estándar se calcula:
Cita bibliográfica.
-Estadistica básica en administración conceptos y aplicaciones.
Editorial Berenson Autor Mark L. Berenson
-Estadistica aplicada a la administración y a la economía
Editorial Addison Wesley Logman Autor David K Hidebrand y R. Lyman Ou.
Publicado por : Jessica Cervantes y Laura Cuevas
La probabilidad de que un prospecto elegido al azar para un agente de ventas realice una compra es de 0.20. Si un representante de venta llama a seis prospectos, probabilidad de que hagan exactamente cuatro ventas se determina como sigue.
P(X>4|n=6, p=0.20) =¨6C¨4 (0.20) ¨4 (0.08)2= 6! (0.20)¨4 (0.08) ¨2
4! 2!
=6 X 5X 4X 3X 2 = (0.0016)(0.06)=0.01536 =0.015
(4X 3X 2)(2)
Si la probabilidad de que un prospecto para ventas, elegido al azar, realice una compra es de 0.20, la probabilidad de que un vendedor que llama a 15 prospectos haga menos de tres ventas es.
P(X<3|n=15,p=0.20)=P(X<2)=P(X=1)+P(X=2)
=0.0352+0.1319+0.2309
=0.3980 = 0.40
La probabilidad de que un empleado asalariado elegido al azar participe en un programa de retiro voluntario es 0.4. Si en forma aleatoria se escogen cinco empleados asalariados, la probabilidad de que la proporción de los que participan en el programa sea exactamente es 0.60 es decir 3/5 de los cinco empleados de la muestra es.
P (p= 0.60)=p = 3/5|n=5, p=0.4 =¨5C¨3(0.40)¨3(0.60)¨2= 5!/3!2!(0.064)(0.36)
=0.2304 = 0.23
La probabilidad de que un empleado elegido al azar participe en un programa de retiro voluntario es 0.40. Si se eligen 10 empleados en forma aleatoria, la probabilidad de que la proporción de participantes sea cuando menos de 0.70 es.
P (p>0.70)= P(X>7|n=10,p=0.10) = P(x= 7 )+ P(X=9)+P(X=10)
=0.0425+0.0106+0.0016+0.0001=0.0548
DISTRIBUCION BINOMIAL
Una distribución de probabilidad ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la distribución binomial. Esta describe varios procesos de interés para los administradores.
Describe datos discretos, resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli, quien vivió en el siglo XVII.
Empleo del proceso de Bernoulli.
Podemos servirnos de los resultados de un número fijo de lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos así:
Cada ensayo (cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.
La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratándose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada.
Los ensayos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.
Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica. Pongamos el caso en que siete décimas partes de las personas que solicitaron cierto tipo de empleo pasaron la prueba. Diremos entonces que la probabilidad característica fue de 0.7 pero podemos describir los resultados de la prueba como un proceso de Bernoulli sólo si tenemos la seguridad de que la proporción de los que fueron aprobados permaneció constante con el tiempo.
Des de luego, la otra característica del proceso de Bernoulli también deberá ser satisfecha. Cada prueba deberá arrojar tan sólo dos resultados (éxito o fracaso= y los resultados de las pruebas habrán de ser estadísticamente independientes.
En un lenguaje más formal, el símbolo p representa la probabilidad de un éxito y el símbolo q (1- p) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo r y para simbolizar el número total de ensayos emplearemos el símbolo n.
0425+0.0106+0.0016+0.0001=0.0548
Publicado por : Jessica Cervantes y Laura Cuevas
LA DISTRIBUCION DE POISSON.
La distribución de poisson se usa para determinar la probabilidad de la ocurrencia de un número determinado de eventos cuando estos ocurren en un continuo de espacio o tiempo. A un proceso de este tiempo se le llama proceso de poisson; es parecido al proceso de bernoulli. Esepto que los eventos ocurren a lo largo de un continuo (por ejemplo por un intervalo de tiempo) y que no hay ensayos explisitos. Un ejemplo de un proceso de este tipo es la entrada de llamadas a un conmutador telefónico como en el caso del proceso bernoulli, se supone que los eventos son independientes y que el proceso estacionario.
Para determinar la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un proceso de poisson solo se requiere un valor: el número medio de eventos alargo plazo en un lapso específico o una dimensión de espacio que interese. Por lo general esta media se representa por ℷ (letra griega lambda) o también por µ. La fórmula para determinar la probabilidad de un número determinado X de éxitos en una distribución de poisson es
Publicado por : Jessica Cervantes y Laura Cuevas
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LA DISTRIBUCION DE POISSON.
La distribución de poisson se usa para determinar la probabilidad de la ocurrencia de un número determinado de eventos cuando estos ocurren en un continuo de espacio o tiempo. A un proceso de este tiempo se le llama proceso de poisson; es parecido al proceso de bernoulli. Esepto que los eventos ocurren a lo largo de un continuo (por ejemplo por un intervalo de tiempo) y que no hay ensayos explisitos. Un ejemplo de un proceso de este tipo es la entrada de llamadas a un conmutador telefónico como en el caso del proceso bernoulli, se supone que los eventos son independientes y que el proceso estacionario.
Para determinar la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un proceso de poisson solo se requiere un valor: el número medio de eventos alargo plazo en un lapso específico o una dimensión de espacio que interese. Por lo general esta media se representa por ℷ (letra griega lambda) o también por µ. La fórmula para determinar la probabilidad de un número determinado X de éxitos en una distribución de poisson es
Publicado por : Jessica Cervantes y Laura Cuevas
LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON.
Ejemplo 1
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
DONDE
Ejemplo 4
DONDE
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